Matematica

La matematica è una disciplina che studia le quantità, le strutture, le forme e le relazioni tra gli oggetti. Si basa su concetti astratti e logici, ed è un linguaggio utilizzato per descrivere e comprendere fenomeni nel mondo reale, così come per sviluppare teorie e risolvere problemi in vari ambiti..

 

Una funzione composta è una funzione ottenuta applicando successivamente due funzioni, in cui l’uscita della prima funzione diventa l’ingresso della seconda.

Se f(x)f(x) e g(x)g(x) sono due funzioni, la loro composizione è indicata come (f∘g)(x)(f \circ g)(x) e si definisce:

(f∘g)(x)=f(g(x)).(f \circ g)(x) = f(g(x)).

Esempio:

  • g(x)=x+2g(x) = x + 2,
  • f(x)=x2f(x) = x^2.

La funzione composta (f∘g)(x)(f \circ g)(x) è:

(f∘g)(x)=f(g(x))=f(x+2)=(x+2)2.(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 2) = (x + 2)^2.

Una funzione inversa è una funzione che associa a ogni valore del codominio della funzione originale il corrispondente valore del dominio, invertendo il processo di trasformazione della funzione originale.

Formalmente, data una funzione f(x)f(x), la sua inversa f−1(x)f^{-1}(x) soddisfa:

f(f−1(x))=xef−1(f(x))=x.f(f^{-1}(x)) = x \quad \text{e} \quad f^{-1}(f(x)) = x.

Una funzione algebrica è una funzione definita come soluzione di un’equazione polinomiale nella forma:

P(x,y)=0,P(x, y) = 0,

dove P(x,y)P(x, y) è un polinomio con coefficienti reali o complessi.

Tipologie di funzioni algebriche

  1. Funzioni polinomiali: Espresse come f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0.
    Esempio: f(x)=x3+2x−5f(x) = x^3 + 2x – 5.

  2. Funzioni razionali: Espresse come rapporto tra due polinomi.
    Esempio: f(x)=x2+1x−3f(x) = \frac{x^2 + 1}{x – 3}.

  3. Funzioni irrazionali: Contengono radici di espressioni algebriche.
    Esempio: f(x)=x+2f(x) = \sqrt{x + 2}

 

Integrali

Integrali Indefiniti e Metodi di Integrazione

Integrali Indefiniti di una Funzione Continua e Proprietà

  • Definizione:
    L’integrale indefinito di una funzione continua f(x) è l’insieme di tutte le sue primitive, cioè:

    ∫f(x) dx=F(x)+C

    dove F′(x)=f(x) e C è la costante di integrazione.

  • Proprietà:

    1. Linearità:

      ∫[af(x)+bg(x)] dx=a∫f(x) dx+b∫g(x) dx

    2. Integrale della derivata:

      ∫F′(x) dx=F(x)+C

    3. Additività:

      ∫f(x) dx+∫g(x) dx=∫[f(x)+g(x)] dx

Integrali Indefiniti Immediati

Sono integrali di funzioni elementari con primitive dirette. Esempi fondamentali:

∫xn dx=xn+1n+1+C(n≠−1)∫1x dx=ln⁡∣x∣+C∫ex dx=ex+C∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C∫cos⁡x dx=sin⁡x+C∫11+x2 dx=arctan⁡x+C

Integrali con Primitive di Funzioni Composte

Per funzioni del tipo f(g(x))⋅g′(x), si applica la regola della catena inversa:

∫f(g(x))⋅g′(x) dx=F(g(x))+C

Esempio:

∫2x⋅ex2 dx=ex2+C(dove f(u)=eu, u=x2)

Integrali di Funzioni Fratte

Si suddividono in due casi:

  1. Denominatore di primo grado:

    ∫1ax+b dx=1aln⁡∣ax+b∣+C

  2. Denominatore di secondo grado:

    • Se il denominatore è scomponibile, usare la decomposizione in fratti semplici.

    • Se non è scomponibile, completare il quadrato e usare l’arcotangente.

Esempio:

∫1×2+4 dx=12arctan⁡(x2)+C

Metodo di Integrazione per Parti

Usato per integrali del tipo ∫u⋅dv:

∫u dv=uv−∫v du

Scelta di u e dv:

  • u si sceglie seguendo l’ordine LIATE (Logaritmiche, Inverse trigonometriche, Algebriche, Trigonometriche, Esponenziali).

Esempio:

∫xex dx=xex−∫ex dx=xex−ex+C

Metodo di Integrazione per Sostituzione

Utile per semplificare integrali complessi:

  1. Scegliere una sostituzione u=g(x).

  2. Calcolare du=g′(x)dx.

  3. Riscrivere l’integrale in termini di u.

Esempio:

∫11−x2 dxcon x=sin⁡u  ⟹  dx=cos⁡u du

Risulta:

∫cos⁡u1−sin⁡2u du=∫1 du=u+C=arcsin⁡x+C

Integrali Definiti

Calcolano l’area sotto la curva di f(x) tra a e b:

∫abf(x) dx=F(b)−F(a)

  • Proprietà:

    1. Additività:

      ∫abf(x) dx+∫bcf(x) dx=∫acf(x) dx

    2. Teorema fondamentale del calcolo:

      ddx∫axf(t) dt=f(x)

Esempio:

∫01×2 dx=x33∣01=13−0=13